A káosz általános elmélete nem könnyen alkalmazható konkrét differenciálegyenlet--rendszerekre. A nehézség az, hogy a káosz létezését absztrakt dinamikai rendszerekre garantáló feltételek teljesülését az indukált megoldások dinamikájában kell ellenőrizni.

Ehhez a fázisportré egy megfelelő geometriai tulajdonságokkal rendelkező részét -- ha van ilyen egyáltalán -- kell lokalizálnunk. A gyakorlatban a számítógép által rendelkezésünkre bocsátott közelítő megoldások egy alkalmas családját kell megkeresni. Hogy a numerikus ál-képződmények (artefacts) kizárásával a káosz létezésének szigorú értelemben vett matematikai bizonyításához jussunk, elengedhetetlenül szükséges a számítógépes közelítések teljes, a kerekítési hibák hatásait is magában foglaló elemzése (worst-case error analysis). A hagyományos differenciálegyenlet megoldók erre a célra alkalmatlanok. Helyettük intervallumos megoldókat kell használnunk, amelyek a pontos megoldások --- amint azt a mellékelt ábra mutatja --- intervallumos burkolóit szolgáltatják.

A kaotikus differenciálegyenletek prototípusának a hatvanas évek vége óta széles körben a klasszikus Lorenz rendszert tartották, jóllehet ennek kaotikus voltát ténylegesen csak harminc évvel később sikerült igazolni. Mrozek és Mischaikow 1995/98-as, számítógéppel segített bizonyítása intervallumos számításokon alapult. Egészen pontosan azt sikerült kimutatniuk, hogy a Smale patkó beágyazható a megoldások által generált dinamika alkalmasan választott Poincaré féle metszősíkjához tartozó visszatérési leképezésbe.
TDK dolgozatunk a Mischaikow és Mrozek módszerét a Lorenz rendszer egy affin ekvivalens változatára, a Vallis rendszerre alkalmazza. A Vallis rendszer az El Niño jelenség -- az egyenlítői Csendes óceán keleti része felszíni vizeinek szokatlanul erős felmelegedése -- egyik legegyszerűbb modelje.

Számítógépes programunk a Nedialkov által kifejlesztett VNODE-LP (Validated Numerical Ordinary Differential Equations - Literate Programming) programcsomagra támaszkodik. A káosz Vallis rendszerbeli, ténylegesen ellenőrizendő, konkrét geometriai feltételeit interaktív, MATLAB kísérletezés során állapítottuk meg. A program futása az általunk használt Intel Core i7; 3.4GHz típusú számítógépen kicsivel több mint két napig tartott.